Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & \frac{3}{5} 0 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{1}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1859 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & \frac{3}{5} \\ 0 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{1}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 18 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

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Schritt 1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

$3 \times 3$ und die zweite Matrix ist

$3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{10} y + \frac{3}{5} z \\ 0 x - \frac{2}{5} y + \frac{1}{5} z \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{10} y - \frac{1}{5} z \end{array}] = [\begin{array}{c} 18 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$x$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{x}{2} + \frac{3 y}{10} + \frac{3 z}{5} \\ - \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} \\ \frac{x}{2} - \frac{1}{10} y - \frac{1}{5} z \end{array}] = [\begin{array}{c} 18 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere

$y$ und

$\frac{1}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{x}{2} + \frac{3 y}{10} + \frac{3 z}{5} \\ - \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{1}{5} z \end{array}] = [\begin{array}{c} 18 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere

$z$ und

$\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{x}{2} + \frac{3 y}{10} + \frac{3 z}{5} \\ - \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} 18 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 2

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

$- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{10} + \frac{3 z}{5} = 18$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in

$- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{10} + \frac{3 z}{5} = 18$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere

$\frac{3 y}{10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{2} + \frac{3 z}{5} = 18 - \frac{3 y}{10}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere

$\frac{3 z}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{2} = 18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$- \frac{x}{2} = 18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

$- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.3.1.1

Vereinfache

$- 2 (- \frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.1.1.1.2

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$2 (- 1) (\frac{- x}{2}) = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.3.1.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.1.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Vereinfache

$- 2 (18 - \frac{3 y}{10} - \frac{3 z}{5})$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 2 \cdot 18 - 2 (- \frac{3 y}{10}) - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$18$ .

$x = - 36 - 2 (- \frac{3 y}{10}) - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{3 y}{10}$ in den Zähler.

$x = - 36 - 2 \frac{- 3 y}{10} - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.2.2

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$x = - 36 + 2 (- 1) (\frac{- 3 y}{10}) - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.2.3

Faktorisiere

$2$ aus

$10$ heraus.

$x = - 36 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 5}) - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 36 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 5}) - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} - 2 (- \frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.3

Multipliziere

$- 2 (- \frac{3 z}{5})$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.2.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 2$ .

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} + 2 (\frac{3 z}{5})$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.3.2

Kombiniere

$2$ und

$\frac{3 z}{5}$ .

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} + \frac{2 (3 z)}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.2.3.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 - \frac{- 3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.2.1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.3.2

Multipliziere

$- - \frac{3 y}{5}$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.3.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$x = - 36 + 1 (\frac{3 y}{5}) + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.3.2.1.3.2.2

Mutltipliziere

$\frac{3 y}{5}$ mit

$1$ .

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = - 36 + \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5}$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.1.4

Bewege

$- 36$ .

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

$x$ durch

$\frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle

$x$ in

$\frac{x}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$ durch

$\frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$ .

$\frac{\frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache

$\frac{\frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 y + 6 z}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Faktorisiere

$3$ aus

$3 y + 6 z$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere

$3$ aus

$3 y$ heraus.

$\frac{\frac{3 (y) + 6 z}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2.2

Faktorisiere

$3$ aus

$6 z$ heraus.

$\frac{\frac{3 (y) + 3 (2 z)}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2.3

Faktorisiere

$3$ aus

$3 (y) + 3 (2 z)$ heraus.

$\frac{\frac{3 (y + 2 z)}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{\frac{3 (y + 2 z)}{5} - 36}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3

$- 36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{3 (y + 2 z)}{5} - 36 \cdot \frac{5}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.4

Kombiniere

$- 36$ und

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{3 (y + 2 z)}{5} + \frac{- 36 \cdot 5}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 (y + 2 z) - 36 \cdot 5}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.1.1.6.1

Faktorisiere

$3$ aus

$3 (y + 2 z) - 36 \cdot 5$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1.1.1.6.1.1

Faktorisiere

$3$ aus

$- 36 \cdot 5$ heraus.

$\frac{\frac{3 (y + 2 z) + 3 (- 12 \cdot 5)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.6.1.2

Faktorisiere

$3$ aus

$3 (y + 2 z) + 3 (- 12 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{\frac{3 (y + 2 z - 12 \cdot 5)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{\frac{3 (y + 2 z - 12 \cdot 5)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.1.6.2

Mutltipliziere

$- 12$ mit

$5$ .

$\frac{\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5}}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5}$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{5 \cdot 2} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$2$ .

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{10} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{10} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{3 (y + 2 z - 60)}{10} - \frac{y}{10} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (y + 2 z - 60) - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y + 3 (2 z) + 3 \cdot - 60 - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$\frac{3 y + 6 z + 3 \cdot - 60 - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 60$ .

$\frac{3 y + 6 z - 180 - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{3 y + 6 z - 180 - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{3 y + 6 z - 180 - y}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.4

Subtrahiere

$y$ von

$3 y$ .

$\frac{2 y + 6 z - 180}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$2 y + 6 z - 180$ und

$10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 y$ heraus.

$\frac{2 (y) + 6 z - 180}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.2

Faktorisiere

$2$ aus

$6 z$ heraus.

$\frac{2 (y) + 2 (3 z) - 180}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.3

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (y) + 2 (3 z)$ heraus.

$\frac{2 (y + 3 z) - 180}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.4

Faktorisiere

$2$ aus

$- 180$ heraus.

$\frac{2 (y + 3 z) + 2 \cdot - 90}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.5

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (y + 3 z) + 2 \cdot - 90$ heraus.

$\frac{2 (y + 3 z - 90)}{10} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1.6.1

Faktorisiere

$2$ aus

$10$ heraus.

$\frac{2 (y + 3 z - 90)}{2 (5)} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y + 3 z - 90)}{2 \cdot 5} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 3 z - 90}{5} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 3 z - 90}{5} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 3 z - 90}{5} + \frac{- z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y + 3 z - 90}{5} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 3 z - 90}{5} - \frac{z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y + 3 z - 90 - z}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.2.2.1.6.2

Subtrahiere

$z$ von

$3 z$ .

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3

Löse in

$\frac{y + 2 z - 90}{5} = 9$ nach

$y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere beide Seiten mit

$5$ .

$\frac{y + 2 z - 90}{5} \cdot 5 = 9 \cdot 5$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 2 z - 90}{5} \cdot 5 = 9 \cdot 5$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 2 z - 90 = 9 \cdot 5$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y + 2 z - 90 = 9 \cdot 5$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y + 2 z - 90 = 9 \cdot 5$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere

$9$ mit

$5$ .

$y + 2 z - 90 = 45$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y + 2 z - 90 = 45$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y + 2 z - 90 = 45$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.3

Bringe alle Terme, die nicht

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere

$2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 90 = 45 - 2 z$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.3.2

Addiere

$90$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 45 - 2 z + 90$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.3.3.3

Addiere

$45$ und

$90$ .

$y = - 2 z + 135$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y = - 2 z + 135$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$y = - 2 z + 135$

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von

$y$ durch

$- 2 z + 135$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle

$y$ in

$x = \frac{3 y}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$ durch

$- 2 z + 135$ .

$x = \frac{3 (- 2 z + 135)}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache

$\frac{3 (- 2 z + 135)}{5} + \frac{6 z}{5} - 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - 36 + \frac{3 (- 2 z + 135) + 6 z}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 36 + \frac{3 (- 2 z) + 3 \cdot 135 + 6 z}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$3$ .

$x = - 36 + \frac{- 6 z + 3 \cdot 135 + 6 z}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$135$ .

$x = - 36 + \frac{- 6 z + 405 + 6 z}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = - 36 + \frac{- 6 z + 405 + 6 z}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$- 6 z + 405 + 6 z$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.3.1.1

Addiere

$- 6 z$ und

$6 z$ .

$x = - 36 + \frac{0 + 405}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.3.1.2

Addiere

$0$ und

$405$ .

$x = - 36 + \frac{405}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = - 36 + \frac{405}{5}$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Dividiere

$405$ durch

$5$ .

$x = - 36 + 81$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Addiere

$- 36$ und

$81$ .

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle

$y$ in

$- \frac{2 y}{5} + \frac{z}{5} = 5$ durch

$- 2 z + 135$ .

$- \frac{2 (- 2 z + 135)}{5} + \frac{z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Vereinfache

$- \frac{2 (- 2 z + 135)}{5} + \frac{z}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 (- 2 z + 135) + z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (- 2 z) - 2 \cdot 135 + z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.2.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 2$ .

$\frac{4 z - 2 \cdot 135 + z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.2.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$135$ .

$\frac{4 z - 270 + z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$\frac{4 z - 270 + z}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.3.1

Addiere

$4 z$ und

$z$ .

$\frac{5 z - 270}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$5 z - 270$ und

$5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.3.2.1

Faktorisiere

$5$ aus

$5 z$ heraus.

$\frac{5 (z) - 270}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.2

Faktorisiere

$5$ aus

$- 270$ heraus.

$\frac{5 (z) + 5 \cdot - 54}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.3

Faktorisiere

$5$ aus

$5 (z) + 5 (- 54)$ heraus.

$\frac{5 (z - 54)}{5} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.3.2.4.1

Faktorisiere

$5$ aus

$5$ heraus.

$\frac{5 (z - 54)}{5 (1)} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (z - 54)}{5 \cdot 1} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z - 54}{1} = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.4.4.1.3.2.4.4

Dividiere

$z - 54$ durch

$1$ .

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z - 54 = 5$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht

$z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Addiere

$54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 5 + 54$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.5.2

Addiere

$5$ und

$54$ .

$z = 59$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

$z = 59$

$x = 45$

$y = - 2 z + 135$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von

$z$ durch

$59$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Ersetze alle

$z$ in

$y = - 2 z + 135$ durch

$59$ .

$y = - 2 \cdot 59 + 135$

$z = 59$

$x = 45$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Vereinfache

$- 2 \cdot 59 + 135$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$59$ .

$y = - 118 + 135$

$z = 59$

$x = 45$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere

$- 118$ und

$135$ .

$y = 17$

$z = 59$

$x = 45$

$y = 17$

$z = 59$

$x = 45$

$y = 17$

$z = 59$

$x = 45$

$y = 17$

$z = 59$

$x = 45$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = 17, z = 59, x = 45$